Вращательное движение – движение тела по окружности

Лекция № 3 Виды движения: равномерное и равноускоренное.

Вращательное движение.

Вращательное движение (Движение тела по окружности)

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения.  Произведя в последних уравнениях следующие замены:

Если:

перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,

скорость V — угловая скорость ω,

ускорение a — угловое ускорение α

Вращательное движение, характеристики

Вращательное движение         Угловая скорость                  Угловое ускорение

Равномерное                            Постоянная                                    Равно нулю

Равномерно ускоренное           Изменяется равномерно            Постоянно

Неравномерно ускоренное      Изменяется неравномерно        Переменное

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Рис.1 Угол поворота — вращательное движение

Если

φ — угловое перемещение в радианах,

s — длина дуги, заключенной

между сторонами угла поворота,

r — радиус,

то по определению радиана

1.φ=s/r

Соотношение между единицами угла

2.φ_рад/φ°=π/180°

1 рад= 57.3°

1°= 17.45 мрад

1´= 291 мкрад

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков

(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ω от t).  график угловой скорости — вращательное движение Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость φ от t) и график углового ускорения (зависимость α от t).

Рис.2 Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

3. [n]=[f]=Обороты/Секунда = (об)/с =1/c = Герц

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если

n — число оборотов,

f — частота,

T — продолжительность одного оборота, период,

φ — угловое перемещение,

N — полное число оборотов,

t — время, продолжительность вращения,

ω — угловая частота,

то

Период

4. T=1/f=1/n

f — (частота, Гц) или n — (число оборотов в секунду)

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:

5. φ= 2 π N

N — (полное число оборотов)

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

6. ω= 2 π f=2π/T

T — (Период вращательного движения, секунд)

f — (частота вращательного движения, Герц)

Обратите внимание:

• формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

Равномерное круговое движение

l = R * φ

l — длина дуги окружности

R — радиус

φ — угол

Равномерное круговое движение: линейная скорость

v = R * ω

v — линейная скорость

R — радиус

ω — угловая скорость

Период вращения

T = t / N

T — период

t — время

N — число вращений

Период вращения

T = 2 π R / v

T — период

R — радиус

v — линейная скорость

Период вращения

T = 2 π / ω

T — период

ω — угловая скорость

Центростремительное ускорение

a = 4 π^²*R / T^²

a — центростремительное ускорение

R — радиус

T — период вращения

Центростремительное ускорение

a = 4 π^²*R * n^²

a — центростремительное ускорение

R — радиус

n — частота вращения

Центростремительное ускорение

a = ω^² * R

a — центростремительное ускорение

ω — угловая скорость

R — радиус

Движение тела в условиях земного тяготения

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

x = v₀ * t *cos(α)

x — координата (дальность)

v₀ — начальная скорость

t — время

α — угол

Высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

y = v₀* t * sin(α) — gt^²/2

y — координата (высота подъема )

v₀ — начальная скорость

t — время

g — ускорение свободного падения

α — угол

Вертикальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту

v_y = v0 * sin(α) — gt

v_y — вертикальная скорость

v₀ — начальная скорость

α — угол

g — ускорение свободного падения

t — время

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

h_max = v₀^² sin(α)^²/ (2g)

h_max — максимальная высота

v₀ — начальная скорость

α — угол

g — ускорение свободного падения

Общее время движения тела, брошенного под углом к горизонту

t = 2 v₀ * sin(α)/g

t — время

v₀ — начальная скорость

α — угол

g — ускорение свободного падения

Максимальная дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

s_max = v₀^²/g

s_max — максимальная дальность

v₀ — начальная скорость

g — ускорение свободного падения

Дальность броска тела, брошенного горизонтально

x = x₀ + v*t

x — координата (дальность)

x₀ — начальная координата

v — скорость

t — время

Высота подъема тела, брошенного горизонтально

y = y₀ — g*t^²/2

y — координата (высота подъема)

y₀ — начальная координата (высота)

g — ускорение свободного падения

t — время

Общее время движения тела, брошенного горизонтально

t _max = √(2*h/g)

t _max — максимальное время

h — высота

g — ускорение свободного падения